1. 結構優化設計基本方法
          作者:小易發布日期:2020-02-17

          教學規劃法


            數學規劃法的命題是:求n個變量xi(i=l,2,…,n),滿足m個約束條件Gj(xi)≤0 (j=l,2,…,m),且使目標函數W(xi)為最小(或最大)。如果約束條件和目標函數都是xi的線性函數,這便是線性規劃問題,已有成熟的解法;如果在這些函數中有一個是非線性函數,便成為非線性規劃問題。隨著非線性函數的性質和形式的不同,非線性規劃問題有很多類型,特殊的解法很多,在應用上各有局限性,沒有普遍適用的最好解法。


            用數學規劃法來作結構優化設計,變量xi便代表可以變化的各種結構參數,如元件截面積或厚度、節點位置、材料性質等;約束條件Gj(xi)≤0代表設計必須滿足的各種限制,例如結構各部位的靜應力,動應力或變位不得超過規定的容許值,元件的截面或厚度尺寸不得超出給定的范圍,結構的頻率不應落在某個禁區,結構的失穩臨界力或飛行器的顫振速度不得小于某一下限,等等;而目標函數則代表結構優化所追求的指標,例如,結構重量最小和成本最低等可以定量的指標;也可將重量、造價作為約束條件,而把某種結構性能,例如剛度作為目標函數。


            數學規劃法的基本目的是,在以設計變量為坐標的多維空間里搜索最優點。如果有n個設計變量,則相應的n維設計變量空間中的每個點都代表一個設計方案。在無限多的點中要盡快地搜索出既滿足所有的約束條件,又能使目標函數盡量接近最小值(或最大值)的點,就是數學規劃設計法的任務,這種搜索的過程稱為“優化過程”。


            附圖表示一個二維設計空間,圖中的一簇曲線是目標函數W(x1,x2)為常數的等值線。約束函數Gj(x1,x2)為零的曲線所圍成的區域是可行域。A、B、C點各代表一個可行的方案.圍線以外的點(如D)不滿足約束條件,所以是不可行方案。顯然,滿足約束條件并使目標函數W最小的最優方案點是M。數學規劃就是要以最迅速的方式找到點M。


            這好比在山坡上—個用柵欄圍起來的區域里找最低點,如果這個山坡不是凹的,則可以斷定最低點必在柵欄所在的邊界上。數學規劃提供了很多搜索的辦法,基本原則都是在選好一個出發點后,經過分析判斷,找出一個邁步的有利方向,沿這個方向跨出有利的步長以到達新的一點。再從此點出發,重復上述過程,一步一步走下去,直到再也找不到可走的有利方向,就是達到了最低點。從第n點到第(n+1)點這一步可表達為:


            式中  為有利方向,為有利步長系數,它們依靠在點進行的分析所提供的信息來確定。例如,從可行點A出發,沿著等高線的梯度負向,即最陡下降方向逐步走到邊界點1,然后再沿著邊界逐步走到最低點M,這個方法叫作梯度投影法。實際上還有很多其他的方法??梢钥闯?,如果初始出發點選的是B,用同樣的走法也可以走到最低點M;但如果初始點選的是C,那就會走到另一個局部最低點N。M點代表全局最優解,因為它是全部可行域中的最低點。


            N點只是在它附近的可行域中的最低點,所以是局部最優解?,F在還沒有一個可靠的實用方法能保證搜索到的解一定是全局最優解。一般是在可能的情況下取若干不同的出發點作幾次搜索,以期找到全局最優解。


            如果是線性規劃問題,搜索過程就簡便得多。所以有時把非線性問題轉化成一系列線性問題來逼近。為此,在某一設計點附近將目標函數和約束函數都線性化,也就是在該點將函數作泰勒展開,并只保留它們的線性項。然后作有一定步長限制的線性規劃,得到新的一點。如此重復下去,直到收斂于最優點為止。


            由于不帶約束的規劃問題比較容易作,所以有時也把有約束問題轉化成一個序列的無約束問題。為此,可以把約束表示成一個罰函數加到目標函數上去,構成一個新的目標函數,即式中即為罰函數,r是個相當小的正數,它在序列無約束問題中,逐次減小。因為r值很小,當代表某一設計方案的點在離開邊界較遠的可行域內部行動時,;但是當接近可行域的邊界.某約束函數Gj(xi)將由負值趨近于零,于是罰函數急劇增大,因此,的最小點不可能越過可行域邊界。


            r越小,無約束問題的W最小點越接近于有約束問題的W最小點。但是如果一開始就取很小的r,無約束問題將遇到收斂上的困難,所以有必要將有約束問題化成一個序列的無約束問題,讓系數r在這個序列中逐漸減小到適當的程度。


            此外,還有一些非線性規劃的特殊方法,如幾何規劃和動態規劃,各有其適應的范圍,在結構優化設計中也得到應用。


            優化準則法


            以滿足某種準則來代替目標函數在約束條件下取極值的方法,叫作優化準則法。最簡單的一個優化準則法,便是前面提到的滿應力設計方法。只有對于內力分布不隨設計變量改變而變化的靜定結構,而且容許應力與設計變量無關的情況下,才能通過一次結構分析和修改設計得出滿應力結構。對于其他情況,為使各元件趨向于滿應力,必須進行下列的選代:


            式中  和  為第n次迭代的第i元件的截面積和最大應力,為第i元件的容許應力。公式給出經過修正的第i元件的截面積。迭代收斂時,就達到的滿應力準則。滿應力準則和結構最小重量之間沒有必然的聯系,但是一般的滿應力設計可能相當接近于甚至就等于最輕設計。當然,這個方法只適用于受應力約束的最輕設計問題。




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